Calcul des matrices A, B, D d'un stratifié

    Comme exemple, nous considérons le calcul des matrices A, B et D d'un stratifié. Le stratifié considéré est constitué de 4 couches d'un matériau unidirectionnel : EL = 38 GPa, ET = 9 GPa, υLT = 0.32, GLT = 3.6 GPa. Les couches ont respectivement des épaisseurs de 1, 1,5, 1,5 et 1 mm, en partant de la couche du dessous. Les orientations des couches sont respectivement: 30, –15, 15 et –30°.

 

    Nous donnons ci-dessous un exemple du fichier d'éxécution de Scilab et les résultats obtenus pour les matrices.

 

Fichier.sce

 

n=4

data=[38 9 0.32 3.6 1 -30

      38 9 0.32 3.6 1.5 15

      38 9 0.32 3.6 1.5 -15

      38 9 0.32 3.6 1 30]

A=[0 0 0;0 0 0;0 0 0]; B=[0 0 0;0 0 0;0 0 0]; D=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];

 et=0; e(1)=0;

for k=1:n

    e(k)=data(k,5);et=et+e(k);

end

disp(e,et);

zk=-et/2+0.5*e(1);z(1)=zk;

for k=2:n

    zk=zk+0.5*(e(k-1)+e(k));z(k)=zk;

end

for k=1:n ;

    EL=data(k,1);ET=data(k,2);nuLT=data(k,3);GLT=data(k,4);

    Q(k,1)=EL/(1-(ET/EL)*nuLT^2); Q(k,3)=ET*Q(k,1)/EL;

    Q(k,2)=nuLT*Q(k,3);Q(k,4)=GLT;

    teta=data(k,6);ci=cos(teta*%pi/180); si=sin(teta*%pi/180);

    Qp(k,1)=Q(k,1)*ci^4+Q(k,3)*si^4+2*(Q(k,2)+2*Q(k,4))*(ci*si)^2;

    Qp(k,2)=(Q(k,1)+Q(k,3)-4*Q(k,4))*(ci*si)^2+Q(k,2)*(ci^4+si^4);

    Qp(k,3)=(Q(k,1)-Q(k,2)-2*Q(k,4))*si*ci^3+(Q(k,2)-Q(k,3)+2*Q(k,4))*si^3*ci;

    Qp(k,4)=Q(k,1)*si^4+Q(k,3)*ci^4+2*(Q(k,2)+2*Q(k,4))*(ci*si)^2;

    Qp(k,5)=(Q(k,1)-Q(k,2)-2*Q(k,4))*ci*si^3+(Q(k,2)-Q(k,3)+2*Q(k,4))*ci^3*si;

    Qp(k,6)=(Q(k,1)+Q(k,3)-2*(Q(k,2)+Q(k,4)))*(ci*si)^2+Q(k,4)*(ci^4+si^4);

    A(1,1)=A(1,1)+Qp(k,1)*e(k);A(1,2)=A(1,2)+Qp(k,2)*e(k);

    A(1,3)=A(1,3)+Qp(k,3)*e(k); A(2,2)=A(2,2)+Qp(k,4)*e(k);

    A(2,3)=A(2,3)+Qp(k,5)*e(k); A(3,3)=A(3,3)+Qp(k,6)*e(k);

    A(2,1)=A(1,2); A(3,1)=A(1,3); A(3,2)=A(2,3);

    B(1,1)=B(1,1)+Qp(k,1)*e(k)*z(k); B(1,2)=B(1,2)+Qp(k,2)*e(k)*z(k);

    B(1,3)=B(1,3)+Qp(k,3)*e(k)*z(k); B(3,3)=B(3,3)+Qp(k,6)*e(k)*z(k);

    B(2,2)=B(2,2)+Qp(k,6)*e(k)*z(k);B(2,3)=B(2,3)+Qp(k,5)*e(k)*z(k);

    B(2,1)=B(1,2); B(3,1)=B(1,3); B(3,2)=B(2,3);

    D(1,1)=D(1,1)+Qp(k,1)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3);

    D(1,2)=D(1,2)+Qp(k,2)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3);

    D(1,3)=D(1,3)+Qp(k,3)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3);

    D(2,2)=D(2,2)+Qp(k,4)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3);

    D(2,3)=D(2,3)+Qp(k,5)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3);

    D(3,3)=D(3,3)+Qp(k,6)*(e(k)*z(k)^2+(1/12)*e(k)^3); D(2,1)=D(1,2);

    D(3,1)=D(1,3); D(3,2)=D(2,3)

end

disp("matrice A  x10^6 N/m");disp(A);disp("matrice B  x10^3 N");disp(B);disp("matrice D  Nm");disp(D);

 

 

Résultats

 

matrice A  x10^6 N/m  

 

    158.2153     30.432002    0.        

    30.432002    51.277564    0.        

    0.           0.           33.674084 

 

 matrice B  x10^3 N  

 

    0.           0.           22.658835 

    0.           0.           12.101159 

    22.658835    12.101159    0.        

 

 matrice D  Nm  

 

    293.92554    77.332524    0.        

    77.332524    114.65288    0.        

    0.           0.           84.086861